밀폐된 관 속 유체의 한 지점에 압력을 가하면 그 유체의 다른 모든 지점에서 압력이 동일하다는 것이 바로 파스칼의 원리였습니다. 파스칼의 원리는 간단하게 증명할 수 있습니다.
유체 속 삼각기둥만으로 파스칼의 원리를 증명할 수 있다?
밑면과 윗면이 삼각형이고 높이가 h인 삼각기둥이 정지 상태의 유체 속에 있다고 가정합니다. 삼각기둥의 옆면은 사각형 3면으로 이루어져 있죠? 윗면 또는 밑면의 모서리의 길이를 각각 a, b, c라고 한다면, 옆면 사각형의 면적은 각각 ah, bh, ch가 되겠습니다.
유체 속의 각 면은 면 양쪽의 유체로부터 접선 방향과 법선 방향의 힘이 가해지게 되는데요. 여기서 접선이란 면과 접하는 직선을 뜻하고 법선이란 접선과 수직인, 즉 면과 수직인 직선을 뜻한답니다. 지금 가정처럼 유체가 정지해 있는 경우에는 접선 방향의 힘(접선 변형력)은 0입니다. 반면 면의 법선 방향의 힘은 면을 밀어주는 '압력'으로 작용하게 됩니다.
때문에 삼각기둥의 3개의 옆면에 각각 P(A), P(B), P(C)의 압력이 작용하고 있다고 표현한다면, 각 면에 작용하고 있는 힘은 압력의 정의에 의해서 F(A)=P(A)ah, F(B)=P(B)bh, F(C)=P(C)ch가 됩니다. 압력은 단위 면적 당 주어지는 힘으로 정의되니까요.
여기서 삼각기둥 역시 움직이지 않고 정지해 있기 때문에, 삼각기둥의 X방향 힘들끼리 균형을 이루어야 합니다. 마찬가지로 Y방향 힘의 합도 역시 균형을 이루어야 하죠. 그렇지 않고 힘이 한쪽이 상대적으로 더 크다면 힘의 평형을 이루지 못하고 움직이게 됩니다. (F=ma)
삼각기둥의 윗면 또는 아랫면의 삼각형이 한 예각의 크기가 θ인 직각삼각형이라고 한다면, X방향 힘의 평형을 위해 F(B)=F(A)sinθ 이어야 합니다. 이를 풀어쓰면 P(B)bh=P(A)ahsinθ가 됩니다. 그런데 sinθ는 삼각함수 정의에 의해 b/a이죠? 때문에 P(B)bh=P(A)ahb/a, 즉 P(B)=P(A)가 됩니다.
Y방향 힘의 평형은 F(C)=F(A)cosθ 이어야 합니다. 풀어쓰면 P(C)ch=P(A)ahcosθ가 됩니다. 역시 cosθ는 삼각함수 정의에 의해 c/a입니다. 때문에 P(C)ch=P(A)ahc/a, 즉 P(C)=P(A)가 됩니다.
이는 곧 P(A)=P(B)=P(C)라는 말입니다. 즉, 정지한 유체 속에서는 어느 방향의 면을 선택하던지 압력은 일정하다는 의미가 됩니다. 한 쪽에 P라는 압력이 주어지면 다른 임의의 모든 면에서 P라는 압력이 동일하게 작용한다는 것이지요. 이렇게 파스칼의 원리를 증명할 수 있습니다.
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